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Erros, Medições Físicas e Etc

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Este é um sumário para leigos da Licença Jurídica (na íntegra).

1 - O que é medir?

É o ato de comparar duas grandezas físicas de mesma natureza, tomando-se uma delas como padrão! Exemplo: Ao se medir o comprimento de uma pessoa, estamos comparando o comprimento da pessoa com o comprimento de uma régua. No caso, o comprimento da régua foi tomado como padrão.

Ainda sobre as medidas, cabe salientar que estas medidas podem ser diretas - quando se compara diretamente as duas grandezas de mesma natureza - e indiretas. Quando a comparação é feita a partir de outras grandezas.

Ao se medir a distância percorrida por um carro, com uma régua, estamos fazendo uma medida direta (da distância). Ao se medir o tempo que o carro levou num certo percurso, com um cronômetro, estamos fazendo uma medida direta (de tempo).

Se dividirmos a distância (medida) pelo tempo (medido), estamos medindo a velocidade média do móvel, indiretamente!

Finalmente, podemos definir grandeza física, como tudo aquilo que pode ser mensurado objetivamente.

2 - Acurácia e precisão de uma medida

Suponha que para uma certa grandeza exista um valor verdadeiro, isto é, um valor esperado por algum modelo teórico. Se uma medida é realizada e o valor encontrado se aproxima do valor verdadeiro, temos uma medida acurada.

Se um instrumento é capaz de medir pequenas frações de uma grandeza, dizemos que ele pode produzir medidas precisas.

Como pode-se notar, uma medida pode ser acurada e pouco precisa, assim como pode ser precisa e pouco acurada. O desejável é que a medida seja acurada e precisa! Embora, por vários motivos, isto nem sempre seja possível!

Medida Acurada e Pouco Precisa

Medida Precisa e Pouco Acurada

OBS:Créditos das Imagens: Wikipedia

3 - Erros e Incertezas de uma Medida

É impossível se produzir medidas com 100% de acerto, em relação ao valor verdadeiro! Os erros podem ser sistemáticos ou aleatórios.

Erros Sistemáticos

São os erros causados pelo método de medida ou por instrumentos defeituosos e que possam ser, após análise dos resultados experimentais, reduzidos por um melhor planejamento do experimento ou pelo uso de equipamentos mais sofisticados ou pelo desenvolvimento de uma técnica mais adequada!

Exemplo: Se você resolve medir o peso de um bloco de ferro, com um dinamômetro sem nenhum defeito, mas realiza a medida próximo de um forte campo magnético, suas medidas estarão todas "viciadas", isto é, terão sempre um erro do mesmo tipo!

Erros Sistemáticos são minimizados com planejamento, planejamento e planejamento! Recursos técnicos adequados também ajudam bastante!

Erros Aleatórios

São todos os erros cujas causas são provocadas por fatores imprevisíveis ou de difícil controle, mesmo quando as medidas foram bem planejadas! Alguns autores chamam estes erros de erros acidentais!

Se você realiza a medida do tempo de queda de um flamenguista, nas mesmas condições e com o mesmo instrumento, mais de uma vez, é provável que os resultados sejam discrepantes (diferentes)! Estas diferenças (geralmente pequenas) se devem aos erros aleatórios!

Erros aleatórios devem ser minimizados pela repetição do experimento, sob as mesmas condições, várias vezes e tratando estatisticamente os resultados!

Erro Absoluto

É a diferença entre o valor medido (V) e o valor verdadeiro (V_v):

e = V - V_v

• É expresso na mesma unidade da medida.
• Pode ser positivo ou negativo
• Se o valor verdadeiro não pode ser determinado ou não existe, tem-se a dispersão!

''' Exemplo:
Ao se medir a soma dos ângulos internos de um triângulo um aluno encontrou 180^o17'. Então:
e = 180^o17' - 180^o = +17'

Erro Relativo

É a razão entre o erro absoluto (e) e o valor verdadeiro de uma medida (V_v):

e% = [(V - V_v)/V_v]

No exemplo acima:

 e% = [17'/(180.60')] ~ 0,002  0,2%  (um erro pequeno!)

• É expresso em termos percentuais e é adimensional!

4 - Média, Desvios e Distribuição de Erros

Se um conjunto de medidas foi realizado de modo planejado e cuidadoso (para minimizar os erros sistemáticos) e sob as mesmas condições experimentais podemos, simplificadamente, escolher como o melhor representante deste conjunto de medidas o valor médio:

V_médio = (V₁ + V₂ + ... + V_n)/n

Onde:
V_médio = Valor Médio das n medidas;
V_n = n-ésima medida;
n = número de medidas.

Se os valores medidos (V_n) estão próximos do valor médio, podemos intuir que os erros aleatórios são pequenos. Para um estudo mais sistemático dos erros aleatórios podemos investigar a dispersão das medidas.

Dispersão das Medidas

É a diferença entre os valores medidos e um valor de referência. O valor de referência pode ser o Valor Verdadeiro ou pode ser o Valor Médio.

d_n = |V_n - V_médio|

Onde:
d_n = Dispersão da n-ésima medida;
V_n = n-ésima medida;
V_médio = Valor médio das medidas.

Podemos calcular a média das dispersões de todas as medidas;

d_médio = (d₁ + d₂ + ... + d_n)/n

E representarmos o resultado deste conjunto de medidas da seguinte maneira:

V = (V_médio +- d_médio)

OBS: Existem outros meios (melhores) de se estimar a incerteza no valor de uma grandeza que foi obtida a partir de várias medidas, por exemplo erro quadrático médio, variância, etc... Felizardos que venham, no futuro, trabalhar com dados experimentais, terão a oportunidade de se aprofundar nesta seara!

Sugestão de Atividade para fixar os conceitos!

1. Meça, usando um régua milimetrada, o comprimento de 5 folhas diferentes de caderno.
2. Calcule o valor médio.
3. Considere o valor médio como sendo o valor verdadeiro e calcule a dispersão média das medidas.
4. Represente o resultado deste conjunto de medidas na forma: V = (V_médio +- d_médio)

5 - Propagação de Erros

Como dito anteriormente, algumas medidas são obtidas indiretamente de outras medidas, fazendo-se operações matemáticas com os valores medidos. Como cada parcela contém um erro/incerteza é fácil imaginar que estes erros devem se propagar''' para a medida indireta!

Exemplo: Qual o erro experimental no valor de uma velocidade média que foi obtida divindo-se uma distância d₁ +- erro por um tempo t₁ +- erro ?

Para se calcular o erro propagado faz-se uma operação matemática chamada derivada parcial! Mas, esta operação está fora do escopo destas notas de aula, portanto vamos mostrar o raciocínio para se obter a propagação de erros de uma medida C obtida a partir da soma das medidas A + B e finalmente colocaremos o resultado para medidas obtidas das outras três operações básicas.

Fica a seu critério deduzir os três resultados mostrados aqui:

Propagação de erros da SOMA:

Seja C = A + B onde:
A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA
B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB

O valor máximo de C será:
(A + dA) + (B + dB) = (A + B) + (dA + dB)

O valor mínimo de C será: (A - dA) + (B - dB) = (A + B) - (dA + dB)

Logo (A + B) tem incerteza:
d(A + B) = dA + dB

Usando raciocínios análogos e com um pouco de "intimidade algébrica" chega-se aos seguitnes resultados:

Propagação de erros da SUBTRAÇÃO:

Seja C = A - B onde:
A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA
B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB

d(A - B) = dA + dB

Propagação de erros do PRODUTO:

Seja C = A.B onde:
A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA
B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB

d(A.B) = B.dA + A.dB

Propagação de erros da DIVISÃO:

Seja C = A/B onde:
A tem incerteza dA, isto é, A pode ser qualquer valor entre A - dA e A + dA
B tem incerteza dB, isto é, B pode ser qualquer valor entre B - dB e A + dB

d(A/B) = [dA/B + dB.(A/B²)]

6 - Algarismos Significativos de uma Medida

Após todas as preocupações acima em representar corretamente uma medida física, devemos ter o cuidado de expressar esta medida somente com algarismo que tenham "signficado experimental". Números que estão fora da faixa de incerteza de uma medida, são apenas "artefatos matemáticos"!

Exemplo: M = (2,338 +- 0,021)g Logo M está compreendido entre 2,317g e 2,359g. Assim, só temos certeza dos algarismos 2 e 3 os demais são duvidosos!

Utiliza-se a seguinte regra para se expressar uma medida somente com algarismos significativos

Usa-se todos os algarismos que se tem certeza (quer seja pela leitura num instrumento de medida, quer seja pelo tratamento estatístico dos dados experimentais) mais um algarismos duvidoso. Isto é, numa representação com algarismos significativos, o último algarismo representa o algarismo da incerteza!

Deste modo, ao contrário do que se usa em matemática, em dados experimentais 2,3 é diferente de 2,30 que é diferente de 2,300!

A representação de uma medida com o número correto de algarismos significativos já dá uma indicação da precisão com que aquela medida foi obtida!

Soma/Subtração de Medidas com Algarismos Significativos

Ao se efetuar soma ou subtração de medidas com o número correto de algarismos significativos o resultado deve conter o menor número de casas decimais!

Exemplo:
1) 2,3 + 3,36 = 5,66 (Resultado matemático) => (Resultado com o número correto de Algarismos Significativos) 5,7

2) 2,3 + 1,31 = 3,61 (Resultado matemático) => (Resultado com o número correto de Algarismos Significativos) 3,6

Produto/Divisão de Medidas com Algarismos Significativos

Ao se efetuar produto ou divisão de medidas com o número correto de algarismos significativos o resultado deve conter o menor número de algarismos significativos!

Exemplo:
3) 2,3 . 3,36 = 7,728 (Resultado matemático) => (Resultado com o número correto de Algarismos Significativos) 7,7

4) 2,3 : 1,31 = 1,755725191 (Resultado matemático) => (Resultado com o número correto de Algarismos Significativos) 1,8

Arrendondamentos

Nos exemplos acima ocorreram alguns arrendondamentos após se truncar o resultado. Os arredondamentos devem seguir a seguinte regra:

• Se o algarismo truncado é igual ou maior que 5 o algarismo anterior deve ser arrendondado para cima! (exemplos 1 e 3 acima.)
• Se o algarismo truncado é menor que 5 o algarismo anterior deve ficar inalterado! (exemplos 2 e 4 acima.)

7 - Treinando e Aplicando os Conceitos

Em breve!

8 - Referências

• http://www.ufpa.br/eduquim/tratamento_estatistico.htm
• http://www.fisica.ufjf.br/disciplinas/labfis1/aula1.pdf
• ANTUNES N. A. A Física Escola Nova, Vol 3 (Som, Luz e Análise Dimensional), Editora Moderna. São Paulo 1972

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